浅谈数形结合在小学数学的重要性-贤知助手

浅谈数形结合在小学数学的重要性
————————紫荆校区周渊
数与形，本是相依依，焉能分作两边飞；
数无形时少直觉，形少数时难入微；
数形结合百般好，隔离分家万事休；
切莫忘，几何代数流一体，永远联系切莫分离。
------------华罗庚
“数”与“形”的结合，历来就受到数学家的崇拜，直观的“形”常常给抽象的“数”以最生动的说明或诠释，反之，数的简练又常使图形中某些难以表达的性质得以展现，运用“数形结合”的方式来思考数学问题是人们追求数学中的形式美的结果。今天一起来体验下“数形”在小学奥数中独特魅力！
一、线段图在小低年级的重要性
在小学阶段，学习各种典型应用题，如和差倍问题、年龄问题、平均数问题、盈亏问题、行程问题等，我们常常采用类似于古希腊人使用的线段图形象、直观的表示出应用题中的各种数量关系。“线段图”是小学数学经常采用的一种图解法。以一道三四年级学习的盈亏问题为例，看看线段图的神奇之处！
例1:三年级一班少先队员参加学校搬砖劳动．如果每人搬4块砖，还剩7块；如果每人搬5块，则少2块砖．这个班少先队有几个人？要搬的砖共有多少块？
思维分析：根据题设条件，有两种分法：①每人搬4块砖；②每人5块砖。在这两种分法下砖的总块数保持不变，搬砖的总人数也不变，并且当知道搬砖的人数时，很容易得到砖的块数，说明求出人数是这道题的关键，那怎么求人数呢？
既然总块数不变，我们可以用线段图表示出，如图1

从图1种很容易得到，第二次分法比第一次分法多搬7+2块，而针对每个人来讲，第二次比第一次多搬（5-4）块，这样就很容易得到搬砖的总人数。
解析：
总人数：

（人）
砖:

（块）
或者：

（块）
答：这个班少先队有9个人，要搬的砖共有43块。
把复杂的数学问题形象化，正是“线段图”的优势！
二、矩形图解法在应用题中的应用
任何一种数学方法都不是万能的，每一种方法都只能解决符合种方法特征的数学问题。接下来介绍另外一种十分有用的图解法————“矩形图解法”。
矩形图解应用题是针对有的应用题要求考虑考虑三个因素，且其中的一个是另外两个的积的形式。这时，用长方形的长表示一个量，用宽表示另外一个量，借助“长×宽=面积”或长方形之间的面积关系来解决问题。
例2：有一个班的同学去划船，若增加一条船，则每条船刚好坐6人；若减少1条船，则每条船刚好坐8人。问：该班共有多少人？

分析与解：如图2，用长方形的长表示船的只数，用宽表示每条船坐的人数。由题意知：

，而

，而12÷2=6（只），从而总人数为：8×6=48（人）
例3：计划修一条公路，如果每天多修8米，会提前4天完成；如果每天少修8米，则会推迟8天完成。那么这条路共有多少米？
思维分析：
本题的条件有两个特点：变————天数在变化，相应的每天修的长度也在变化；
不变———无论天数怎么变化，这条公路的总长度不变。
由于“路的总长度=每天修的长度×对应的天数”，跟面积非常类似。所以对应如下：
长对应成天数，宽对应成每天修的长度；面积对应成路的总长度
根据题目的条件，可以将问题转化成用图3的矩形图来进行描述：

请注意图3中的每个数字的含义与位置，特别注意三个8和4的位置
从图3,可以看出哪些长方形的面积相等呢？具体如图4

根据“路的总长度=每天修的长度×对应的天数”很容易得到：

进而再利用重叠原理很容易得到：

数形结合
数形结合
数形结合

由于

,且

，可以得到

又因为

,且

可以得到：

.
再根据上下都有EF进行扩比得到：

由于

，从而可以得到CD比GL长8，事实上，CD的长度是6份，GL的长度是4份，这样就可以求出一份的长度了
一份的长度为：

故CD的长是：

EF的长是：

BC的长度为：

再根据路的总长度与长方形ABCD的面积相等得：
路的总长度为：

（米）
答：这条路共有384米。
从前面的例题我们可以看出，用矩形图解应用题的核心是问题中的“数的关系”转化成“形的关系”，从而将一个算术问题转化成一个纯粹的几何问题，通过图形的直观形象一目了然地揭示出了数量之间的因果关系。

三、图形在几何中的应用
例4：已知三角形的三边的平方分别为370，74，116，求三角形的面积？
思维分析：
本题只告诉你三角形的三边的平方，要求该三角形的面积，可能刚拿到此题确实无从下手，很多爸妈可能会想到初中的海伦公式或者余弦定理。可这是正经的小学数学题，既然此题出现了平方说明勾股定理有关，不妨先试试这三个数是哪些数的平方和：