第一部分 数与代数

一、数的认识

【自然数】表示物体个数的 1、2、3、4、5、…都是自然数。一个物体也没有用 0 表示，0 也是自然数。最小的自然数是 0，没有最大的自然数，自然数的个数是无限的。自然数是整数的一部分。一个自然数有两个方面的意义：一是表示物体的个数，称为基数。如，5 朵小花中的“5”是基数；二是表示事物的次序，称为序数。如，第 5 个学生中的“5”是序数。任何非 0 的自然数都是由若干个“1”组成，所以“1”是自然数的单位。

【奇数、偶数】在自然数中，是 2 的倍数的数叫做偶数（0 也是偶数），不是 2 的倍数的数叫做奇数。

【因数、倍数】如果 a×b=c（a、b、c 均为不是 0 的自然数，即正整数）那么 c 就是 a 和 b 倍数，a 和 b 就是 c 的因数。倍数和因数是相互依存的。如，3×6=18，18 是 3 的倍数，18 也是 6 的倍数，3 是 18 的因数，6 也是 18 的因数。而不能说 18 是倍数，3、6 是因数。

【2、3、5 的倍数的特征】个位上是 0、2、4、6、8 的数是2 的倍数。各个数位上的数的和是 3 的倍数，这个数就是3 的倍数。个位上是 0 或 5 的数是 5 的倍数。个位上是0 的数，这个数既是 2 的倍数又是 5 的倍数。

【质数】如果一个自然数只有 1 和它本身两个因数，这样的数叫做质数（也叫素数）。在偶数（0 除外）中，只有2 是质数。

【合数】如果一个自然数除了 1 和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数。最小的合数是 4。

【质因数】每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数都叫做这个合数的质因数。

【分解质因数】把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。

【计数单位】一（个）、十、百、千、万、……亿、十亿、……是整数的计数单位，小数的小数部分的计数单位从左向右依次是十分之一、百分之一、千分之一、……等。

【小数的意义】把整数“1”平均分成 10 份、100 份、1000 份……这样的一份或几份是十分之几、百分之几、千分之几……可以用小数表示。

【小数的性质】小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。利用小数的性质可以将小数末尾的“0”去掉，把小数化简；也可以根据需要在小数的末尾添上“0”，还可以将整数改写成小数部分是 0 的小数形式。

【十进制计数法】每相邻的两个计数单位之间的进率都是 10，这样的计数方法就叫做十进制计数法。小数部分每相邻的两个计数单位之间的进率也是 10。

【数位】计数单位按照一定的顺序排列起来，它们所占的位置，叫做数位。

【分数的意义】把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数根据分子与分母的大小关系可以分为真分数和假分数。分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于 1。分子比分母大或分子和分母相等的分数叫做假分数。假分数大于 1 或等于 1。带分数是大于 1 的假分数的另一种表示形式。

【分数单位】一个分数的分母是几，它的分数单位就是几分之一；分子是几，它就有几个这样的分数单位。

【分数基本性质】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数（0 除外），分数的大小不变。利用分数的基本性质可以将分数约分或者将几个分数通分。

【公因数、最大公因数】几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数。其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。

【公倍数、最小公倍数】几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数。其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。

【互质数】公因数只有 1 的两个数，叫做互质数。

【最简分数】如果一个数的分子和分母的公因数只有1，这样的分数叫做最简分数。

【百分数】表示一个数是另一个数的百分之几的数，叫做百分数，也叫做百分率或百分比。分数与百分数的

关系：分数既可以表示一个数量，也可以表示两个数的

比；而百分数只表示一个数占另一个数的百分比，不能

表示具体的数量。分数后面可以加单位，而百分数后不

能带单位。

【正数、负数】像 16、2000、38、6.3…这样的数叫做正数。正数都比 0 大。像-5、-100、-5.2…这样的数叫做负数。负数都比 0 小。0 既不是正数也不是负数。正数大于负数。

【整数】像…-3、-2、-1、0、1、2、3、…这样的数统称整数。整数是由正整数、0 和负整数组成的，0 既不是正整数也不是负整数。正整数都大于 0，负整数都小于 0。整数的个数是无限的。没有最小的整数，也没有最小的负整数，没有最大的整数，也没有最大的正整数。最大的负整数是-1，最小的正整数是 1。

二、数的运算

【加法】把两个数合并成一个数的运算。

【减法】已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。

【乘法】求几个相同加数的和的简便运算。

【除法】已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算。

【倒数】乘积是 1 的两个数互为倒数。

【整数加法计算法则】相同数位对齐，从个位加起，哪一位上的数相加满十就向前一位进一。

【整数减法计算法则】相同数位对齐，从个位减起，哪一位上的数不够减就从前一位退一作十再减。

【小数加、减法计算法则】先把小数点对齐（也就是把相同数位上的数对齐），再按照整数加、减法的法则进行计算，最后在得数里对齐横线上的小数点，点上小数点。（得数的小数部分末尾有 0，一般要把 0 去掉。）

【分数加、减法计算法则】同分母分数相加减，分母不变，只把分子相加减；异分母分数相加减，先通分，然后按同分母分数加、减法的法则进行计算。

【整数乘法计算法则】把两个因数的数位对齐；从个位起，依次用第二个因数每位上的数去乘第一个因数，乘到哪一位，乘得的积的末位就要和第二个因数的哪一位对齐；把几次乘得的积加起来。（整数末尾有 0 的乘法：可以先把 0 前面的数相乘，然后看各因数的末尾一共有几个 0，就在乘得的积的末尾添几个 0。）

【整数除法计算法则】从被除数的最高位除起，先看除数有几位，再用除数试除被除数的前几位，如果前几位比除数小，就多取一位再除；除到被除数的哪一位，商就写在哪一位的上面；如果哪一位不够商 1，就在哪一位的上面写 0。（每次除后余下的数必须比除数小）

【小数乘法计算法则】先按整数乘法的法则计算，再看因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点。得数的小数部分末尾有 0，一般要把 0 去掉。

【小数除法计算法则】除数是整数时，按照整数除法的法则进行计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数后面补 0，再继续除。除数是小数时，先看除数中有几位小数，就把除数和被除数的小数点同时向右移动几位，数位不够时用0 补足；然后按照除数是整数的小数除法进行计算。

【分数的乘法计算法则】分数乘分数，把分子相乘的积作为分子，把分母相乘的积作为分母，能约分的要约分。分数乘整数，用分子乘整数的积作分子，分母不变。

【分数除法计算法则】除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数。

【积的变化规律】在乘法里，一个因数不变，另一个因数扩大（或缩小）若干倍，积也扩大（或缩小）若干倍。

【商不变性质】在除法里，被除数和除数同时扩大（或缩小）相同的倍数，商不变。

【分数的基本性质】分数的分子和分母同时乘或者除以相同的数(0 除外)，分数的大小不变。这叫做分数的基

三、常见的量

【24 时记时法与普通记时法】记时法有两种：一种是国家有关部门采用的从 0 时~24 时连续计时的 24时记时法；一种是从夜里 0 时~中午 12 时为一段，从中午 12 时~夜里 24（0）时为一段的普通记时法。这样，通常说的下午 1 时就是 13 时，依次类推，晚上 11 时就是23 时。

【平年、闰年】公历年份是 4 的倍数的一般都是闰年，但公历年份是整百数的，必须是 400 的倍数才是闰年。如2000 年是闰年，2096 年是闰年，但 2100 年不是闰年，要到 2104 才是闰年，也就是说通常是四年一闰，而 2096年要经过 8 年才到下一个闰年。

【各月的天数】一年中大月（每月 31 天）有 1、3、5、7、8、10、12 月。小月（每月 30 天）有 4、6、9、11 月。2 月既不是大月，也不是小月。平年 2 月 28 天，闰年 2 月 29 天。平年全年 365 天，闰年全年 366 天。

四、式与方程

【等式】表示相等关系的式子叫做等式。

【方程】含有未知数的等式叫做方程。

【方程的解】使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

【解方程】求方程的解的过程，叫做解方程。

【等式的性质】等式的两边同时加上或减去同一个数，等式仍成立。等式的两边同时乘或除以相同的数（0除外），等式仍成立。

五、比和比例

【比】两个数相除又叫两个数的比。

【比的前项、后项、比值】在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值是一个具体的数，因此可以用整数、分数或小数表示。

【比的基本性质】比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0 除外），比值不变。

【比例】表示两个比相等的式子叫做比例。如，3:5=6:10。

【比例的项】在比例中，组成比例的四个数叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的內项。

【比例的基本性质】在比例里，两个内项的积等于两个外项的积。如在上面的比例中 3×10=5×6。

【解比例】求比例中的未知项，叫做解比例。

【正比例和反比例】两种相关联的量，有的成比例，有的不成比例。如果两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，当这两种量中相对应的两个数的比值一定时，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。当这两种量中相对应的两个数的积一定时，这

两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

第二部分 图形与几何

一、图形的认识

【直线】直线没有端点，可以向两端无限延伸，长度无法测量。过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。

【射线】射线只有一个端点，可以向一端无限延伸，长度无法测量。从一点出发可以画无数条射线。

【线段】线段有两个端点，长度可以测量。两点间的所有连线中，线段最短。

【角】从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。

【三角形】由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。

【四边形】由四条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做四边形。四边形具有不稳定性。

【平行四边形】两组对边分别平行的四边形。

【长方形】对边平行且相等，四个角都是直角的四边形。

【正方形】四条边都相等，四个角都是直角的四边形。

【梯形】只有一组对边平行的四边形。

【圆】当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一端点所画出的一条封闭曲线就是圆。

【圆心】圆中心的一点叫做圆心。

【半径】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。

【直径】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。

【扇形】由圆的两条半径与这两条半径所夹的圆心角所对的弧围成的图形。

【长方体】长方体是由 6 个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。

【正方体】正方体是由 6 个完全相同的正方形围成的立体图形。正方体可以看成是长、宽、高都相等的长方体。

【圆柱】圆柱有三个面，底面是两个相等的圆，侧面是一个曲面，两个底面之间的距离叫做高。沿圆柱的高将圆柱的侧面展开后是一个长方形。

【圆锥】圆锥有两个面，底面是一个圆形，侧面展开是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。

二、测量

【周长】封闭图形一周的长度。

【面积】物体的表面或封闭图形的大小。

【表面积】物体表面的总面积。

【体积】物体所占空间的大小。

【容积】仓库或容器所能容纳物体的体积叫做容积。

三、图形的运动

【平移】在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

【旋转】在平面内，将一个图形绕一个定点，沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转动的角称为旋转角。

【轴对称图形】如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

四、图形与位置

【描述物体的相对位置】用“上、下、左、右、前、后”描述的是物体的相对位置，它与观察者和参照物有关。主要用来描述现实空间中物体的位置。

【描述物体的绝对位置】用“东、南、西、北”描述的是物体的绝对位置，它不受观察者的影响，只与参照物有关。既可以用来描述现实空间中物体的位置，也可以用来描述平面上物体的位置。用方向来描述平面上物体位置时，图形中表示的方向通常是“上北下南、左西右东”，图中一般要标出。

【用方向和距离描述物体的位置】一是确定观测点，二是方向，三是距离。

【用数对描述物体的位置】用数对描述平面上物体的位置，横排为行，竖排为列。确定第几列，一般从左向右数；确定第几行，一般从前往后数（方格纸上从下往上数）。表示列的数在前，表示行的数在后，中间用“，”隔开，再加上小括号。

【比例尺】图上距离与实际距离的比，叫做一幅图的比例尺。

第三部分 统计与概率

【简单数据统计过程】一般要经历四个阶段：收集数据、整理数据、描述数据、分析数据。

【收集数据】指收集原始数据。收集数据的方法很多，可以通过调查、测量、实验得到数据，也可以通过查阅书刊、上网查询等方法得到数据。

【整理数据】就是把收集到的原始数据进行整理。可以分类整理，也可以分段整理。整理的过程中，可以采用画“正”字或者画“√”的方法进行计数。

【描述数据】就是将整理好的数据展示出来。可以制成统计表，也可以制成统计图，但要结合具体的问题和具体的内容来选择。

【分析数据】就是解释统计的结果，并能根据统计的结果作出简单的判断和预测。

【条形统计图】通过条形的高低来表示数量的多少的统计图。它能够清楚地表示数量的多少，有利于数量的比较。

【折线统计图】以折线的上升或下降来表示统计数量的增减变化情况的统计图。它不仅能表示出数量的多少，还能够反映数量的增减变化情况。

【扇形统计图】用整个圆面积表示总数，用圆内的各个扇形的面积表示各部分占总数的百分数的统计图。它用单位“1”表示总数，能够清楚的反映出各部分占总数的百分比。

【平均数】是刻画一组数据集中趋势的一个统计量。平均数的求法是将一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数得到的商。它的大小和每个数据都有关系，任何数据的变化都会引起平均数的变化。一组数据的极大或极小数据对平均数影响较大。

【确定现象】有一些现象的结果是可以预知的，包括一定会发生的现象和不可能发生的现象，把这类现象称为确定现象。通常用“一定”或“不可能”来描述这类现象。

【随机现象】有一些现象的结果是否发生是不能预先确定的，把这类现象称为随机现象。