最大公因数与最小公倍数定义及练习题解析

(1)公因数与最大公因数

几个数公有的因数叫作这几个数的公因数，其中最大的一个叫作它们的最大公因数。

a和b的最大公因数-般用(a, b)表示。

(2)公倍数与最小公倍数

几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数，其中最小的一个叫作这几个数的最小公倍数。

a和b的最小公倍数一般用[a, b]表示。

关键解读

(1)求最大公因数的方法

①特殊方法:如果两个数互质，那么它们的最大公因数是1。如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最大公因数是较小的那个数。

②分解质因数法:几个自然数的最大公因数，必须包含这几个自然数全部公有的质因数，因此，可先把各个自然数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来，然后连乘，所得的积就是要求的最大公因数。

③短除法:一般先把各个数公有的质因数从小到大依次作为除数，连续去除这几个数，把除得的商写在对应数的下方，一直除到各个商只有公因数1为止，然后把所有除数连乘起来，所得的积就是这几个数的最大公因数。

(2)找最小公倍数的方法

①特殊方法:如果两个数互质，那么它们的最小公倍数就是这两个数的积;如果一个数是另一个数的倍数，那么它们的最小公倍数就是较大的那个数。

②分解质因数法:求两个数的最小公倍数，先把每个数分解质因数，再把这两个数所有公有的质因数和其中每个数独有的质因数全部连乘起来，积就是它们的最小公倍数。

③短除法:把几个数公有的质因数由小到大排列后，依次作为除数，用短除法连续去除这几个数。在连除时，如果某一个数不能被除数整除，就把这个数写在下边，直到得出的商两两互质为止。然后把所有的除数和商乘起来，所得的积就是这几个数的最小公倍数。

例题解析

例1求下面各组数的最大公因数与最小公倍数。5和9 8和56 72和120 15，20和45

分析与解5和9互质，所以它们的最大公因数是1,即(5, 9)=1。最小公倍数是5×9=45,即[5, 9]=45。

8和56,，56+8=7,所以它们的最大公因数是(8, 56)=8,最小公倍数是[8, 56]=56。

72=2 × 2 × 2 × 3 × 3 120=2 × 2 × 2 × 3 × 5

72和120共同的质因数有3个2,1个3,所以它们的最大公因数是(72, 120)=24。72又独有质因数3，120又独有质因数5，所以它们的最小公倍敦是2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5＝360,即[172,120]=360。

求15, 20和45的最大公因数和最小公倍数，用短除法求解，过程如下:

所以15, 20和45的最大公因数是5,即(15, 20, 45)=5.最小公倍数是5 × 3 × 4 × 3=180,即[15, 20, 45] =180。

例2有320个苹果， 240个橘子，200 个梨，用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物?在每份礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个?

分析根据题目的要求，在分礼物的时候必须正好分尽3样水果，因此礼物的份数必须是320, 240 和200的公因数。现在要求最多可以分成多少份同样的礼物，也就是说要求320, 240和200的最大公因数。

解

（320， 240， 200）=2 × 2 × 2 × 5 = 40

因此，最多可以分成40份，每份礼物中有苹果320÷40=8(个)，有橘子240÷40=6 (个)，有梨200÷40=5 (个)。

答：最多可以分成40份同样的礼物;在每份礼物中，苹果有8个，橘子有6个，梨有5个。

例3有一堆树苗，每5棵一捆、每6棵一捆或每7棵一捆最后均余3棵，求这堆树苗至少有多少棵。

分析这是一道有关求最小公倍数的变式题。

由题意可知，只要把树苗的总棵数减去3,就可以同时被5，6, 7整除，即只要先求出5, 6, 7的最小公倍數，再加上3，就得到树苗至少有多少棵。

解[5，6，7]=210 210+3=213 (棵)

答：这堆树苗至少有213棵。

补充知识：

最大公因数与最小公倍数的性质

两个自然数的最大公因数与它们最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。

(a, b)×[a, b]=ab或(a,b)=ab/[a,b]或[a,b]=ab/(a, b)

例：两个数的最大公因数是4,最小公倍数是252,其中一个数是28，另一个数是多少?

解设要求的数为x，且x=4×y，则有

因为4是x和28的最大公因数，则(y, 7)=1,所以4 ×y×7是x和28的最小公倍数，即4×y×7=252。所以

x×28=4×y×4×7=4×（4×y×7）=4×252，那么x=4×252/28=36。