数学知识点：轴对称

轴对称的定义

把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点,叫做对称点。轴对称和轴对称图形的特性是相同的，对应点到对称轴的距离都是相等的。

轴对称的性质

1. 轴对称的两个图形是全等图形；轴对称图形的两个部分也是全等图形。
2. 轴对称(轴对称图形)对应线段相等，对应角相等。
3. 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
4. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
5. 两个图形关于某条直线对称，那么如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点一定在在对称轴上。坐标轴对称点P(x,y)关于x轴对称的点的坐标是(x,-y)点P(x,y)关于y轴对称的点的坐标是(-x,y)

轴对称的判定

如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

这样就得到了以下性质：

如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
线段的垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等。
对称轴是到线段两端距离相等的点的集合。

轴对称作用

1. 可以通过对称轴的一边从而画出另一边。
2. 可以通过画对称轴得出的两个图形全等。
3. 扩展到轴对称的应用以及函数图像的意义。

轴对称的应用

关于平面直角坐标系的X,Y对称意义。如果在坐标系中，点A与点B关于直线X对称，那么点A的横坐标不变，纵坐标为相反数。相反的,如果有两点关于直线Y对称,那么点A的横坐标为相反数,纵坐标不变。

关于二次函数图像的对称轴公式(也叫做轴对称公式 )

设二次函数的解析式是latex $y=ax^2$+bx+c ，则二次函数的对称轴为直线latex $x=-b/2a,顶点横坐标为 latex -b/2a ,顶点纵坐标为latex (4ac-b^2$)/4a

在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质。譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等。

另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中。

轴对称变换

知识点1 轴对称变换

由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.

成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.

知识点2 轴对称变换的性质

1. 由一个平面图形可以得到它关于一条直线l对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全一样;
2. 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点;
3. 接任意一对对应的线段被对称轴垂直平分.

中心对称与中心对称图形

1. 中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够和另外一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点。

2. 中心对称图形：在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。
3. 中心对称的性质：
   （1）关于中心对称的两个图形是全等形；
   （2）在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都经过对称中心,并且被对称中心平分；
   （3）成中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

轴对称与中心对称的区别与联系

轴对称

有一条对称轴——直线 图形沿对称轴对折(翻折180o)后重合 对称点的连线被对称轴垂直平分。

中心对称

有一个对称中心——点 图形绕对称中心旋转180 o后重合 对称点连线经过对称中心,且被对称中心平分。

轴对称与轴对称图形的区别与联系

1. 轴对称图形是对一个图形而言，是一个具有特殊形状的图形。轴对称是对二个图形而言，是两个图形的位置关系。
2. 都具有折叠后互相重合。
3. 如果把轴对称的两个图形看成一个图形，那么它就是一个轴对称图形;

轴对称与轴对称图形的性质

1. 任何一对对应点所边线段被对称轴垂直平分
2. 两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上
3. 对应线段相等，对应线段所在的直线如果相交，交点在对称轴上
4. 对应角相等