方差公式

　　一．方差的概念与计算公式

　　例1两人的5次测验成绩如下：

　　X：50，100，100，60，50E(X)=72；

　　Y：73，70，75，72，70E(Y)=72。

　　平均成绩相同，但X不稳定，对平均值的偏离大。

　　方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度。

　　单个偏离是

　　消除符号影响

　　方差即偏离平方的均值，记为D(X)：

　　直接计算公式分离散型和连续型，具体为：

　　这里是一个数。推导另一种计算公式

　　得到：“方差等于平方的均值减去均值的平方”。

　　其中，分别为离散型和连续型计算公式。称为标准差或均方差，方差描述波动

　　二．方差的性质

　　1．设C为常数，则D(C)=0（常数无波动）；

　　2．D(CX)=C2D(X)（常数平方提取）；

　　证：

　　特别地D(-X)=D(X)，D(-2X)=4D(X)（方差无负值）

　　3．若X、Y相互独立，则

　　证：记

　　则

　　前面两项恰为D(X)和D(Y)，第三项展开后为

　　当X、Y相互独立时，

　　，

　　故第三项为零。

　　特别地

　　独立前提的逐项求和，可推广到有限项。

　　方差公式：

　　平均数：M=(x1+x2+x3+…+xn)/n（n表示这组数据个数，x1、x2、x3……xn表示这组数据具体数值）

　　方差公式：S&sup2；=〈(M－x1)&sup2；+(M－x2)&sup2；+(M－x3)&sup2；+…+(M－xn)&sup2；〉╱n

　　三．常用分布的方差

　　1．两点分布

　　2．二项分布

　　X~B(n，p)

　　引入随机变量Xi（第i次试验中A出现的次数，服从两点分布）

　　，

　　3．泊松分布（推导略）

　　4．均匀分布

　　另一计算过程为

　　5．指数分布（推导略）

　　6．正态分布（推导略）

　　7.t分布：其中X~T（n），E（X）=0；D（X）=n/(n-2)；

　　8.F分布：其中X~F（m，n），E(X)=n/(n-2)；

　　~

　　正态分布的后一参数反映它与均值的偏离程度，即波动程度（随机波动），这与图形的特征是相符的。

　　例2求上节例2的方差。

　　解根据上节例2给出的分布律，计算得到

　　工人乙废品数少，波动也小，稳定性好。

　　方差的定义：

　　设一组数据x1，x2，x3······xn中，各组数据与它们的平均数x（拔）的差的平方分别是（x1-x拔）&sup2；，（x2-x拔）&sup2；······（xn-x拔）&sup2；，那么我们用他们的平均数s2=1/n【（x1-x拔）&sup2；+(x2-x拔)&sup2；+·····(xn-x拔)&sup2；】来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。