筹算歌诀的完备和珠算的发明

唐宋时期对于实用算术的研究是一个相当活跃的领域，不少人积极从事筹算算法的改进尤其是筹算乘除法的简化工作，并取得了一些重要的进展。如把筹算乘除需要摆放三层的摆法简化为在一个横列里演算，提出了求一、上驱、搭因、重因、增成、身外加减、损乘、九归等等筹算乘除捷法，并且其中一些方法还被编成容易上口和便于记忆的歌诀形式。到了元代，这种简化筹算乘除法的歌诀经过不断改进而更加简练和完备。这一时期新编成的比较重要的歌诀有“化零歌”、“归除歌诀”、“撞归诀”、“起一诀”等，如朱世杰《算学启蒙》记载有“化零歌”：“一退六二五，二留一二五，三留一八七五……”即
当时一斤等于十六两，这个歌诀就是以斤化两的算法。南宋杨辉也有斤价化两价的歌诀：“一求，隔位六二五；二求，退位一二五；三求，一八七五记……”显然朱世杰的歌诀更为顺口易记。《算学启蒙》还记载了26句的“九归”（除数为一位数的除法）歌诀，如“二一添作五，逢二进一十”，“三一三十一，三二六十二”等等，也比杨辉的九归歌诀简单明确。此外，在元代还很流行“归除”，在做多位数除法时先“归”后“减”，以简化除法运算。贾亨《算法全能集》记有算法歌诀：“唯有归除法更奇，将身归了次除之。有归若是无除数，起一回将原数施。或值本归归不得，撞归之法莫教迟。若还识得中间法，算者并无差一厘”，其中提到的撞归诀和起一诀也趋于完善。如《丁巨算法》（1355）提到的撞归诀是“二归撞归九十二，三归撞归九十三……”，元末何平子《洋明算法》已将其改为“见二无除作九二，见三无除作九三……”等等。以上这些口诀与珠算的口诀已经基本相同，只不过当时还是用于筹算而已。根据这些口诀作除法时，一念口诀便能立即得到商数。在这种情况下，只要熟练掌握口诀，具体计算本来可以变成相当简便的事情，然而当时的计算工具却还是那些不很便于取用的小竹条，因此手不应心的矛盾，也就是计算工具与计算方法的矛盾显得更加突出了。由于社会经济的发展，迫切需要改进计算方法和计算工具，而筹算口诀的完备，已经提供了更为简便的计算方法，于是，一种崭新的计算工具──珠算盘便应运而生了。
珠算是在我国筹算基础上发展起来的，它的计算方法吸取了筹算方法，尤其是筹算口诀的产生和改进，对于从筹算向珠算的演变起了十分重要的作用。至于珠算究竟是什么时候产生，又是什么人创造的，根据现有史料还不能作出确切的回答。南北朝时期的《数术记遗》中记载了多种记数方法，其中的“珠算”并非后世的珠算，但是否对珠算的产生有所影响，则还须作更深入的研究。有人认为北宋张择端《清明上河图》里画有一个算盘，但是原图并不很清楚，难以确认是否为珠算盘。元中叶之后的一些文学和戏剧作品中已经提到珠算。元末陶宗仪《辍耕录》记载一条俗谚：“凡纳婢仆，初来时，曰雷盘珠，言不拨自动。稍久，日算盘珠，言拨之则动。既久，日佛顶珠，言终日凝言，虽拔亦不动。”明初刊刻的一本看图识字书《对相四言杂字》有算盘图，共十档，上二珠下五珠。这是目前发现最早的算盘图。书中所绘人物服饰为元代式样，由此可知该书原刊于元代。另一方面，南宋和元初的著名数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰等又都没有提起过珠算。因此，珠算大约产生于元中叶以前不太久的时间。总的说来，正像我们不能确切说明筹算是什么时候产生又是什么人创造的一样，这种情况恰恰说明珠算和筹算都不是哪一个个人创造发明的，而是社会经济发展的产物，是广大劳动人民在长期的生产活动和日常生活中，根据实际需要创造出来并逐渐加以改进和完善的。珠算盘和珠算术的发明，是我国古代劳动人民作出的一项意义重大、影响深远的突出贡献。