送给“外星人”的“弦图”

UFO（不明飞行物）是“外星人”的宇宙飞船吗？是否存在地球以外生命呢？
　　这些谜，科学家正在进行探测。倘若有“外星人”存在，那么，地球上的人类又该如何与他们通话、建立友谊呢？在“嫦娥奔月”的千年神话变成了现实的今天，科学家进行了一次又一次的尝试。
　　1970年4月，我国发射的第一颗人造地球卫星“东方红1号”，播放着《东方红》乐曲邀游太空，给寂寞的“外星人”送去了人间音乐。
　　1972年3月和1973年4月，美国相继发射了“先驱者10号”和“先驱者11号”宇宙探测器，这两位“先驱者”各给“外星人”带去了一块金属板。板上画有地球上人的形象：一个男人和一个女人；还画有飞船本身的外形轮廓和飞船的出发点。
　　1974年11月，德瑞克和美国阿雷西佛天文台的工作人员，为给“外星人”介绍地球，向一星团发射了一组信号，信号中有用黑白格子表示的地球知识和二进制数。
　　1977年，美国又有两艘宇宙飞船“旅行者”号上了天。这两位星际旅行者给“外星人”带去的“礼物”是：包括我国八达岭长城雄姿在内的115张照片，35种自然音响，60种语言问候语和27支世界名曲。
　　这一次又一次送去的图形语言、符号语言、文字语言，无疑是在作与“外星人”对话的试探。然而，你是否发现，已给“外星人”送去的图形语言中，还没有数学图形语言。我国数学家华罗庚认为，如果要与“外星人”交流信息，不妨把我
国古代的“青朱出入图”也送去。
　　什么是“青朱出入图”呢？这还得从勾股定理的证明谈起。
　　勾股定理的证明，自古以来引起人们的极大兴趣，其证法至今已约有四百种之多，是几何定理中证法最多的一个。若将这些证法搜集在一起，足足可以编成一本厚厚的书哩！
　　证法种种，风格各异。我国古代数学家证明勾股定理的独特风格，在数学大苑中开出了一朵芳香的鲜花。
　　看，三国时期数学家赵爽（公元三世纪初）的证法，有多么巧妙！
　　赵爽证法用了“弦图”。所谓“弦图”，就是以弦为边的正方形。他在《勾股圆方图注》中写道：“案弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之为朱实四，以勾股之差自乘为中黄实，加差实，亦成弦实。”
勾股圆方图
图 1
　　这意思是：在“弦图”内，以正方形的边为弦，作四个全等的直角三角形，得到图1（此图称为勾股圆方图）。赵爽称直角三角形的面积为“朱实”，中间小正方形的面积为“黄实”。设直角三角形的勾、股、弦分别为a、b、c，则ab为二个朱实，2ab为四个朱实，为黄实。四个朱实加上一个黄实就等于弦实。所以 。
化简，得 。
　　赵爽先巧妙地构造“弦图”，再经过简单的代数运算，获得几何问题的证明。真是构思精巧，证法直观、简捷、严谨，并融代数几何于一体，鲜明地体现了我国古代证题术的独特风格。
　　赵爽证法之妙，妙在“弦图”。“弦图”变化无穷，形状各异。我国古代用来证明勾股定理的“弦图”，已不下200种。你能设计一、二个“弦图”，证明勾股定理吗？
　　在赵爽之后不久，我国数学家刘徽（公元三世纪）更加巧妙地设计了一种“弦图”。
　　众所周知，勾股定理又可叙述为：直角三角形两条直角边上正方形的面积和，等于斜边上的正方形面积。据此，刘徽先作出分别以勾、股为边的正方形，依次涂上朱色、青色。并分别称为“朱方”、“青方”。然后，他利用出入相补原理。把图形分成若干块，将标有“朱出”、“青出”的那部分图形。移到标有“朱入”、“青入”的相应位置，便拼成了以弦为边的正方形，他称此正方形为“弦方”。这样便得到了一个“弦图”，这就是人们所说的“青朱出入图”（图2）。
　　图形经过一番移拼，出入相补，依面积关系有：
朱方+青方=弦方。
　　即 。
　　不需用任何数学符号和文字，更不需进行运算，隐含在图中的勾股定理便清晰地呈现在人们面前。这是多么神奇的“青朱出入图”啊！无怪乎数学大师华罗庚提议，将这幅图给“外星人”。
珠朱出入图
图 2
　　倘若将这幅只涂有颜色，而没有文字和符号的“青朱出入图”送给了“外星人”，我们相信，“外星人”一定能看懂，并且会情不自禁地惊叹，远方的朋友具有多么高的智慧啊！