学好几何文字语言

　　人们交流思想离不开语言,思考问题也离不开语言.在科学性很强的几何中，对文字的要求更高。为了迅速适应比较系统的几何学习，我们应该就下面几点加强对几何文字语言的训练。
　　第一，必须理解和熟悉几何中常用的名词和用语。
　　《几何》第一章有许多概念，这些概念都有它们的名词。其中有少数几个名词是用文字语言来描述它们的含意，而含意的描述又往往不能达意。如直线，我们只能给出它的形象── 一根拉得很紧的线，但这不能展现直线向两方无限延伸的本质。如果不理解这个直线可向两方无限延伸的本质，就没法正确判断图1中的两条直线a，b是否相交，不能肯定图2中点P是否在直线AB上。因此今后提到直线，我们就应该知道：“这条直线不仅仅是笔直的，而且是向两方无限延伸着的”

　　除了极少数几个描述的名词外，其余的名词都用文字语言规定它们含意——定义。这些名词的定义都是用那些描述含意的名词和学过的有定义的名词来叙述，叙述通常用“......叫做......”形式，如“直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线殷的端点”。
　　学习定义或用语都要咬文嚼字，因为对它们的意义的理解一旦差之毫厘，就会导致失之千里。如“小于直角的角叫做锐角”是正确的，“大于直角的角叫做钝角”就错了，又如“连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离”，因而两点的距离不是连结这两点的线段。
　　要深刻理解和掌握各个概念的本质，还需注意相近概念之间的联系和区别。比较才有鉴别，通过文字语言的比较就能透彻理解概念，正确使用概念。如“两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角”，显然这两个角都必须是锐角，因此一个钝角不会有它的余角。又如“两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角”，也显然这两个角不可能都是锐角或者都是钝角，除非这两个角都是直角，不然必定是一个锐角一个钝角。两个角互为余角或互为补角，是指两个角的数量关系，没有涉及到它们的位置关系，只有当两个角互为邻补角时才既有数量关系又有位置关系。
　　除了学好几何名词外，我们还要学好几何中的规范用语。如图3不能说“延长直线AB”，“延长线段BA”等等只能说“延长线段AB”，或“反向延长线段BA”。
　　几何名词是几何语言结构中的单位，规范的几何语言是人们长期积累的精练的几何语言。周密的思考，严谨的推理和正确交流数学思想方法都必须明白准确的名词用语。
　　第二必须透彻理解并熟悉掌握公理和定理的题设和结论。
　　公理和定理都是命题，命题的文字语言有三种形式：第一种形式是：“如果......，那么......”，或“若.....，则.....”，如“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。”这时很容易确定“如果”、“若”后面就是题设，“那么”、“则”后面就是结论，第二种形式就不那么明显了，但是叙述比较完整，如“两条直线相交，只有一个交点”，很容易必写成第一种形式：“如果两条直线相交，那么只有一个交点。”这样，命题的题设和结论也清楚了。第三种形式因为叙相当简单，所以首先要了解命题的意思，完整命题的叙述，然后改写成第一种形式，如“对顶角相等”，是说“两个角成对顶角，它们就相等”，从而可改写成“如果∠A和∠B是对顶角，那么∠A=∠B。”它的题设和结论也就明显了。
　　善于分析命题的题设和结论，是我们学好、用好公理和定理，以及提高审题和解题的必要的能力。
　　第三，必须灵活运用等价语言。
　　在几何图形中，对同一个事实经常有几种不同的叙述方法，这些说法是等价语言。如图4，“线段AB的中点M”还有如下各种等价的说法。


（1）M是线段AB的中点；
（2）A、M、B是同一条直线上的三点，且AM=MB；
（3）M是线段AB上的点，且AB=2AM（或AB=2MB）；
（4）点M在线段AB上，且或（）；
（5）点B在线段AM的延长线上，且AM=MB；
......
　　然而有时不同的说法不是等价的。例如公理“经过两点有一条直线，并且只有一条直线”。可以说成“过两点有且只有一条直线”。其中前一个“有”，说出这样的直线存在，后一个“只有”，说明这样的直线最多有一条。因此这个公理像生活用语那样说成”经过两点只有一条直线”，理由是这句话少了一层“这样的直线存在”的意思。但是它可以说成“两点确定一条直线”。因为“确定”也是“有目只有”的意思。所以我们要善于识别不同的说法是否等价。
　　等价语言运用自如，常常有利于开拓思路，有利于说理，并使叙述简捷。