初中数学《立方根》教案

课 题：2.3 立方根
●教学目标
(一)教学知识点
1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.
2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.
3.了解立方根的性质.
4.区分立方根与平方根的不同.
(二)能力训练要求
1.在学了平方根的基础上，要求学生能用类比的方法学习立方根的有关知识，领会类比思想.
2.发展学生的求同求异思维，使他们能在复杂环境中明辨是非.
(三)情感与价值观要求
当今社会是科学飞速发展、信息千变万化的时代，每一个人都不可能把一生中要接触的知识全部学会，因此让他们会学知识比学会知识更重要，这就要从小培养良好的学习习惯，能自己解决的问题就自己解决，其中类比的学习方法就是一种重要的学习方法，本节课重点训练学生的类比思想的养成.
●教学重点
立方根的概念.
●教学难点
1.正确理解立方根的概念.
2.会求一个数的立方根.
3.区分立方根与平方根的不同之处.
●教学方法
类比学习法.
●教具准备
投影片两张：
第一张：平方根与立方根的联系与区别(记作2.3 A)；
第二张：补充练习(记作2.3 B).
●教学过程
Ⅰ.新课导入
上节课我们学习了平方根的定义，若x2=a，则x叫a的平方根，即x=± .
若正方体的棱长为a，体积为8，根据正方体体积的公式得a3=8，那a叫8的什么呢？本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论，若x3=a，则x叫a的什么呢？
Ⅱ.新课讲解
1.［师］请大家先回忆平方根的定义.
［生］若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根.
［师］在平方根定义的基础上，若x3=a，则x叫a的什么呢？请大家自己猜想然后讨论得出结果.
［生］因为x2=a，x叫a的平方根，所以当x的立方等于a时，x叫a的立方根.
［师］当x4=a时，x叫a的什么根呢？
［生］当x的4次方等于a时，x叫a的4次方根.
［师］大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌.下面大家能不能再根据平方根的写法来类推立方根的记法呢？
［生］能.若x的平方等于a，则x叫a的平方根，记作x=± ，读作x等于正、负二次根号a，简称为x等于正，负根号a.若x的立方等于a，则x叫a的立方根，记作x=± ，读作x等于正、负三次根号a，简称x等于正、负根号a.
［师］请大家对这位同学的回答展开讨论，小组总结后选代表发言.
［生甲］我认为这位同学回答得不对.如果x2=a，则x=± ，x3=a时，x=± 也成立的话，那如何区分平方根与立方根呢？
［生乙］因为乘方与开方是互为逆运算，求立方根可通过逆运算立方来求，如x3=8，因为23=8，所以x=2，只有一个根而不是±2，所以立方根的个数不正确.
［师］大家的分析非常有道理，请认真看书第13、14页可知，若一个数x的立方等于a，即x3=a，那么这个数x就叫做a的立方根(cube root；也叫三次方根)如2是8的立方根，记为x= ，读作x等于三次根号a.
开立方的定义
［师］大家先回忆开平方的定义，再类推开立方的定义.
［生］求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，则求一个数a的立方根的运算，叫做开立方，其中a叫做被开方数.
(2)立方根的性质
［师］2的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是8？
［生］2的立方等于8，(－2)3=－8，所以没有其他的数的立方等于8.
［师］－3的立方等于多少？是否有其他的数，它的立方也是－27？
［生］－3的立方等于－27，33=27，所以没有其他的数的立方等于－27.
［师］0的立方等于多少？0有几个立方根？
［生］0的立方等于0，0有1个立方根是0.
［师］从刚才的讨论中，大家总结一下正数有几个立方根？0有几个立方根？负数有几个立方根？
［生］正数有一个立方根，0有一个立方根是0，负数有一个立方根.
［师］对.正数有一个正的立方根、负数有一个负的立方根，0的立方根有一个，是0.
(3)平方根与立方根的区别与联系.
［师］我们已经学习了平方根与立方根的定义，并会求某些数的平方根和立方根，下面请大家说说它们的联系与区别.
［生］从定义来看，若一个数x的平方等于a，即x2=a，则x叫a的平方根；若一个数x的立方等于a，即x3=a，则x叫a的立方根，都是一个数x的乘方等于a，但一个是平方，另一个是立方.
［生］一个正数的平方根有两个，一个负数没有平方根，零的平方根有一个是零；一个正数的立方根有一个，并且是正数，一个负数有一个负的立方根，零的立方根有一个是零.
［生］它们的表示方法和读法不同，一个正数a的平方根表示为± ，立方根表示为 .
［师］很好.大家现在已经具备了一定的分析判断能力，这对大家以后的学习和工作非常有帮助，继续发扬下去，你们都将前途无量，下面我再系统地总结一下.
投影片：(2.3 A)
平方根与立方根的联系与区别.
联系：
(1)0的平方根、立方根都有一个是0.
(2)平方根、立方根都是开方的结果.
区别：
(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根”；“如果一个数的立方等于a，这个数就叫做a的立方根.”
(2)个数不同：一个正数有两个平方根，一个正数有一个立方根；一个负数没有平方根，一个负数有一个立方根.
(3)表示法不同
正数a的平方根表示为± ，a的立方根表示为 .
(4)被开方数的取值范围不同
± 中的被开方数a是非负数； 中的被开方数可以是任何数.
2.例题讲解
［例1］求下列各数的立方根：
(1)－27；(2) ；(3)0.216；(4)－5.
解：(1)因为(－3)3=－27，所以－27的立方根是－3，即 =－3；
(2)因为( )3= ，所以 的立方根是 ，即 = ；
(3)因为0.63=0.216，所以0.216的立方根是0.6，即 =0.6；
(4)－5的立方根是 .
［师］请大家思考下列问题.
表示a的立方根，则( )3等于什么？ 等于什么？
大家可以先举例后找规律.
［生］∵23=8，∴ =2，( )3=8；
∵(－2)3=－8，
∴ =－2；( )3=－8；
∵( )3= ，
∴ ；
∵(－ )3=－ ，
∴ .
∴( )3=a.
［师］若x3=a，则x= ，∴x3=( )3=a.
∴( )3=a.
又∵a3是a的立方,所以a3的立方根就是a，所以 =a.下面就这两个式子进行练习.
［例2］求下列各式的值：
(1) ；(2) ；(3)－ ；(4)( )3
解：(1) = =－2；
(2) = ；
(3) = ；
(4)( )3=9.
Ⅲ.课堂练习
(一)随堂练习
1.求下列各式的值：
.
解： ；
2.一个正方体，它的体积是棱长为3厘米的正方体体积的8倍，这个正方体的棱长是多少？
解：设正方体的棱长是x厘米，得
x3=8×33
∴x3=216
∴x=6(厘米)
答：这个正方体的棱长是6厘米.
(二)补充练习
投影片：(2.3 B)
1.求下列各数的立方根：
0，1，－ ，6，－ ，0.001
2.求下列各式的值：
3.下列说法对不对？
－4没有立方根；
1的立方根是±1；
的立方根是 ；
－5的立方根是－ ；
64的算术平方根是8.
1.解：因为03=0，所以0的立方根为0.
即 =0；
因为13=1，所以1的立方根为1.
即 =1；
因为 的立方根为 .
即 ；
6的立方根为 ；
∵－ 的立方根为－ ，即 ；
∵0.13=0.001，所以0.001的立方根为0.1，即 =0.1.
2.解： ；
.
3.答案：错.因为负数也有立方根；
错.因为1的立方根是1；
错. 的立方根是 ，平方根是± ；
对.－5的立方根是 ，－ ；
对.
Ⅳ.议一议
1.某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体.现在要造一个新的球形储气罐，如果它的体积是原来的8倍，那么它的半径是原储气罐半径的多少倍？
解：设原来的球形储气罐的半径为r1，后来的储气罐的半径为r2，由球体积公式V= πr3得
8× πr13= πr23
∴8r13=r23
∴(2r1)3=r23
∴r2=2r1
即新储气罐的半径是旧储气罐半径的2倍.
2.一个正方体的体积变为原来的n倍，它的棱长变为原来的多少倍？
解：设原正方体的棱长为a，后来的正方体的棱长为b，得
na3=b3∴
∴b= .
即后来的棱长变为原来的 倍.
Ⅴ.课时小结
本节课学了如下内容：
1.立方根的定义.
2.立方根的性质.
3.开立方的定义.
4.平方根与立方根的区别与联系.
5.会求一个数的立方根.
Ⅵ.课后作业
习题2.5.
Ⅶ.活动与探究
1.求下列各式中的x.
(1)8x3+27=0；
(2)(x－1)3－0.343=0；
(3)81(x+1)4=16；
(4)32x5－1=0.
分析：先把每一个式子都化成x3= 的形式，然后再根据平方根或立方根的定义来求，
解：(1)由8x3+27=0.∴8x3=－27
∴x3= ∴x= ；
(2)由(x－1)3－0.343=0
∴(x－1)3=0.343
∴x－1= =0.7
∴x=1.7；
(3)由81(x+1)4=16
∴(x+1)4=
∴x+1=±
∴x=± －1∴x=－ 或x=－ ；
(4)由32x5－1=0
∴x5=
∴x= .
2.求满足 +1=x的x的值.
解： =x－1
∴x－1=－1或x－1=0或x－1=1
∴x=0或x=1或x=2
3.计算
(1)－ ；
(2) .
解：(1) ；
(2)
=－ .
●板书设计
2.3 立方根
一、(1)立方根开立方的定义
(2)立方根的性质
(3)立方根与平方根的联系与区别
二、例题讲解(求立方根)
三、练习
四、议一议
五、小结
六、作业