初中数学《运用公式法》教案

2.3.1 运用公式法（一）
●课 题
2.3.1 运用公式法（一）
●教学目标
（一）教学知识点
1.使学生了解运用公式法分解因式的意义；
2.使学生掌握用平方差公式分解因式.
3.使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.
（二）能力训练要求
1.通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力.
2.训练学生对平方差公式的运用能力.
（三）情感与价值观要求
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了解换元的思想方法.
●教学重点
让学生掌握运用平方差公式分解因式.
●教学难点
将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.
●教学方法
引导自学法
●教具准备
投影片两张
第一张（记作2.3.1 A）
第二张（记作2.3.1 B）
●教学过程
Ⅰ.创设问题情境,引入新课
［师］在前两节课中我们学习了因式分解的定义，即把一个多项式分解成几个整式的积的形式，还学习了提公因式法分解因式，即在一个多项式中，若各项都含有相同的因式，即公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式乘积的形式.
如果一个多项式的各项，不具备相同的因式，是否就不能分解因式了呢？当然不是，只要我们记住因式分解是多项式乘法的相反过程，就能利用这种关系找到新的因式分解的方法，本节课我们就来学习另外的一种因式分解的方法——公式法.
Ⅱ.新课讲解
［师］1.请看乘法公式
（a+b）（a－b）=a2－b2 （1）
左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是
a2－b2=（a+b）（a－b） （2）
左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？
［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.
［师］对，是利用平方差公式进行的因式分解.第（1）个等式可以看作是整式乘法中的平方差公式，第（2）个等式可以看作是因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
［师］请大家观察式子a2－b2,找出它的特点.
［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.
［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.
如x2－16=（x）2－42=（x+4）（x－4）.
9 m 2－4n2=（3 m ）2－（2n）2
=（3 m +2n）（3 m －2n）
3.例题讲解
［例1］把下列各式分解因式：
（1）25－16x2;
（2）9a2－ b2.
解：（1）25－16x2=52－（4x）2
=（5+4x）（5－4x）;
（2）9a2－ b2=（3a）2－（ b）2
=（3a+ b）（3a－ b）.
［例2］把下列各式分解因式:
（1）9（m+n）2－（m－n）2;
（2）2x3－8x.
解：（1）9（m +n）2－（m－n）2
=［3（m +n）］2－（m－n）2
=［3（m +n）+（m－n）］［3（m +n）－（m－n）］
=（3 m +3n+ m－n）（3 m +3n－m +n）
=（4 m +2n）（2 m +4n）
=4（2 m +n）（m +2n）
（2）2x3－8x=2x（x2－4）
=2x（x+2）（x－2）
说明：例1是把一个多项式的两项都化成两个单项式的平方，利用平方差公式分解因式；例2的（1）是把一个二项式化成两个多项式的平方差，然后用平方差公式分解因式，例2的（2）是先提公因式，然后再用平方差公式分解因式，由此可知，当一个题中既要用提公因式法，又要用公式法分解因式时，首先要考虑提公因式法，再考虑公式法.
补充例题
投影片（2.3.1 A）
判断下列分解因式是否正确.
（1）（a+b）2－c2=a2+2ab+b2－c2.
（2）a4－1=（a2）2－1=（a2+1）•（a2－1）.
［生］解：（1）不正确.
本题错在对分解因式的概念不清，左边是多项式的形式，右边应是整式乘积的形式，但（1）中还是多项式的形式，因此，最终结果是未对所给多项式进行因式分解.
（2）不正确.
错误原因是因式分解不到底，因为a2－1还能继续分解成（a+1）（a－1）.
应为a4－1=（a2+1）（a2－1）=（a2+1）（a+1）（a－1）.
Ⅲ.课堂练习
（一）随堂练习
1.判断正误
解：（1）x2+y2=（x+y）（x－y）; （×）
（2）x2－y2=（x+y）（x－y）; （√）
（3）－x2+y2=（－x+y）（－x－y）; （×）
（4）－x2－y2=－（x+y）（x－y）. （×）
2.把下列各式分解因式
解：（1）a2b2－m2
=（ab）2－m 2
=（ab+ m）（ab－m）;
（2）（m－a）2－（n+b）2
=［（m－a）+（n+b）］［（m－a）－（n+b）］
=（m－a+n+b）（m－a－n－b）;
（3）x2－（a+b－c）2
=［x+（a+b－c）］［x－（a+b－c）］
=（x+a+b－c）（x－a－b+c）;
（4）－16x4+81y4
=（9y2）2－（4x2）2
=（9y2+4x2）（9y2－4x2）
=（9y2+4x2）（3y+2x）（3y－2x）
3.解：S剩余=a2－4b2.
当a=3.6,b=0.8时，
S剩余=3.62－4×0.82=3.62－1.62=5.2×2=10.4（cm2）
答：剩余部分的面积为10.4 cm2.
（二）补充练习
投影片（2.3.1 B）
把下列各式分解因式
（1）36（x+y）2－49（x－y）2;
（2）（x－1）+b2（1－x）;
（3）（x2+x+1）2－1.
解：（1）36（x+y）2－49（x－y）2
=［6（x+y）］2－［7（x－y）］2
=［6（x+y）+7（x－y）］［6（x+y）－7（x－y）］
=（6x+6y+7x－7y）（6x+6y－7x+7y）
=（13x－y）（13y－x）;
（2）（x－1）+b2（1－x）
=（x－1）－b2（x－1）
=（x－1）（1－b2）
=（x－1）（1+b）（1－b）;
（3）（x2+x+1）2－1
=（x2+x+1+1）（x2+x+1－1）
=（x2+x+2）（x2+x）
=x（x+1）（x2+x+2）
Ⅳ.课时小结
我们已学习过的因式分解方法有提公因式法和运用平方差公式法.如果多项式各项含有公因式，则第一步是提公因式，然后看是否符合平方差公式的结构特点，若符合则继续进行.
第一步分解因式以后，所含的多项式还可以继续分解，则需要进一步分解因式，直到每个多项式都不能分解为止.
Ⅴ.课后作业
习题2.4
1.解：（1）a2－81=（a+9）（a－9）;
（2）36－x2=（6+x）（6－x）;
（3）1－16b2=1－（4b）2=（1+4b）（1－4b）;
（4）m 2－9n2=（m +3n）（m－3n）;
（5）0.25q2－121p2
=（0.5q+11p）（0.5q－11p）;
（6）169x2－4y2=（13x+2y）（13x－2y）;
（7）9a2p2－b2q2
=（3ap+bq）（3ap－bq）;
（8） a2－x2y2=（ a+xy）（ a－xy）;
2.解：（1）（m+n）2－n2=（m +n+n）（m +n－n）= m（m +2n）;
（2）49（a－b）2－16（a+b）2
=［7（a－b）］2－［4（a+b）］2
=［7（a－b）+4（a+b）］［7（a－b）－4（a+b）］
=（7a－7b+4a+4b）（7a－7b－4a－4b）
=（11a－3b）（3a－11b）;
（3）（2x+y）2－（x+2y）2
=［（2x+y）+（x+2y）］［（2x+y）－（x+2y）］
=（3x+3y）（x－y）
=3（x+y）（x－y）;
（4）（x2+y2）－x2y2
=（x2+y2+xy）（x2+y2－xy）;
（5）3ax2－3ay4=3a（x2－y4）
=3a（x+y2）（x－y2）
（6）p4－1=（p2+1）（p2－1）
=（p2+1）（p+1）（p－1）.
3.解：S环形=πR2－πr2=π（R2－r2）
=π（R+r）（R－r）
当R=8.45,r=3.45，π=3.14时，
S环形=3.14×（8.45+3.45）（8.45－3.45）=3.14×11.9×5=186.83（cm2）
答：两圆所围成的环形的面积为186.83 cm2.
Ⅵ.活动与探究
把（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc分解因式
解：（a+b+c）（bc+ca+ab）－abc
=［a+（b+c）］［bc+a（b+c）］－abc
=abc+a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2－abc
=a2（b+c）+bc（b+c）+a（b+c）2
=（b+c）［a2+bc+a（b+c）］
=（b+c）［a2+bc+ab+ac］
=（b+c）［a（a+b）+c（a+b）］
=（b+c）（a+b）（a+c）
●板书设计
2.3.1 运用公式法（一）
一、1.由整式乘法中的平方差公式推导因式分解中的平方差公式.
2.公式讲解
3.例题讲解
补充例题
二、课堂练习
1.随堂练习
2.补充练习
三、课时小结
四、课后作业
●备课资料
参考练习
把下列各式分解因式：
（1）49x2－121y2;
（2）－25a2+16b2;
（3）144a2b2－0.81c2;
（4）－36x2+ y2;
（5）（a－b）2－1;
（6）9x2－（2y+z）2;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2;
（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2.
解：（1）49x2－121y2
=（7x+11y）（7x－11y）;
（2）－25a2+16b2=（4b）2－（5a）2
=（4b+5a）（4b－5a）;
（3）144a2b2－0.81c2
=（12ab+0.9c）（12ab－0.9c）;
（4）－36x2+ y2=（ y）2－（6x）2
=（ y+6x）（ y－6x）;
（5）（a－b）2－1=（a－b+1）（a－b－1）;
（6）9x2－（2y+z）2
=［3x+（2y+z）］［3x－（2y+z）］
=（3x+2y+z）（3x－2y－z）;
（7）（2m－n）2－（m－2n）2
=［（2 m－n）+（m－2n）］［（2 m－n）－（m－2n）］
=（3 m－3n）（m +n）
=3（m－n）（m +n）
（8）49（2a－3b）2－9（a+b）2
=［7（2a－3b）］2－［3（a+b）］2
=［7（2a－3b）+3（a+b）］［7（2a－3b）－3（a+b）］
=（14a－21b+3a+3b）（14a－21b－3a－3b）
=（17a－18b）（11a－24b）