初中数学解题技巧:比较与分类

初中数学解题技巧:比较与分类

（ 1 ）比较法

是确定事物共同点和不同点的思维方法。在数学上两类数学对象必须有一定的关系才好比较。我们常比较两类数学对象的相同点、相异点或者是同异综合比较。

例如比较一次函数的图像性质时，常采用比较法

（ 2 ）分类的方法

分类是在比较的基础上，依据数学对象的性质的异同，把相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归为不同类的思维方法。如上图中一次函数的 k 在不等于零的情况下的分类是大于零和小于零体现了不重不漏的原则。

如实数的分类是有理数和无理数等

3 ．特殊与一般

（ 1 ）特殊化的方法

特殊化的方法是从给定的区域内缩小范围，甚至缩小到一个特殊的值、特殊的点、特殊的图形等情况，再去考虑问题的解答和合理性。

例如无论 k 取何值，直线 y=kx-(k-2) 过定点 _________

分析：令 k=0, 得 y=2 代入求得 x=1 得定点为（ 1 ， 2 ）

例如： 2 -(2k+1) -2 -(2k-1) +2 -2k 的值为（）

(a) 2 -2k (b) 2 -(2k-1) (c) -2 -(2k+1) (d) 0

分析令 k=0, 得原式 = 2 -1 -2 +1=-2 -1 发现了 (a) (b) (d) ，所以排除了后选 (c)

（ 2 ）一般化的方法

波利亚在《怎样解题》一书中这样说“普遍化（一般化）就从考虑一个对象过渡到包含该对象的一个集合；后者从考虑一个较小的集合过渡到一个包含该较小集合的更大的集合” “更普遍的问题可能更易于求解”

从具体问题中有时需要跳出来看问题就更易于解决，也就是我们平常常说的公式法求解

例如：求方程 5x2 -4x-12=0 的解，求根公式就易于求解

对不能因式分解的一元二次方程优势会更突出。

如解方程 x2 +4x-2=0

4. 联想与猜想

（ 1 ）类比联想

类比就是根据两个对象或两类事物间存在着的相同或不同属性，联想到另一事物也可能具有某种属性的思维方法。

通过类比联想可以发现新的知识；通过类比联想可以寻求到数学解题的方法和途径：

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（ 2 ）归纳猜想

牛顿说过：没有大胆的猜想就没有伟大的发明。猜想可以发现真理，发现论断；猜想可以预见证明的方法和思路。初中数学主要是对命题的条件观察得出对结论的猜想，或对条件和结论的观察提出解决问题的方案与方法的猜想。

归纳是对同类事物中的所蕴含的同类性或相似性而得出的一般性结论的思维过程。归纳有完全归纳和不完全归纳。完全归纳得出的猜想是正确的，不完全归纳得出的猜想有可能正确也有可能错误，因此作为结论是需要证明的。 关键是猜之有理、猜之有据。

例：已知⊙ e 和⊙ f 相交于 a 、 d 两点，其半径分别为 r 和 r, 过 d 点

的任一条割线分别交圆于 b 、 c 两点，连结 ab 、 ac 求证： ab:ac 为定值

分析：猜想比值为定值应该和半径有关系，目标定为两半径之比；猜想之二比值是相似三角形中的常见问题，因此构造相似三角形，通过三角形 agh 和 abc 相似得到 ab:ac=r:r